Estatı́stica Básica

Capı́tulo 6 Distribuições contínuas de Probabilidades

6.1 Exercícios

•    6.1.1 Suponha que o ponto de fusão de certa substância se distribui uniformemente no intervalo \([100\), \(125]\), em razão da presença variável de impurezas. Qual é a probabilidade de a substância se fundir entre \(108\) e \(122\)? Qual é a probabilidade de o ponto de fusão ser superior a \(115\)?

•    6.1.2 A eficiência de certo componente eletrônico varia uniformemente entre \(0\) e \(100\). Sabendo-se que o custo de produção médio para cada componente é \(C\), mas que o valor de venda de cada um deles depende de sua eficiência da seguinte forma: se a eficiência for inferior a \(20\), o componente é vendido a \(P_1\) unidades monetárias (u.m.); se a eficiência estiver entre \(20\) e \(50\), o componente é vendido a \(P_2\) u.m.; se a eficiência estiver entre \(50\) e \(80\), o componente é vendido a \(P_3\) u.m.; e se a eficiência for superior a \(80\), o componente é vendido a \(P_4\) u.m..

  • a) Qual é o lucro médio esperado por componente?

  • b) As seguintes relações de preço de venda e do custo são conhecidas: \(P_1\) \(=\) \(0\); \(P_2\) \(=\) \(P_3/2\) \(=\) \(P_4/4\); e \(C\) \(=\) \(10\). Quais devem ser os valores dos preços desconhecidos (\(P_2\), \(P_3\) e \(P_4\)) para que o lucro médio esperado/componente seja igual a \(2\) u.m.? Qual deve ser o valor mínimo desses preços para que não haja prejuízos?

•    6.1.3 A distribuição exponencial ajustada a dados dos totais diários de chuva do mês de janeiro em Pelotas, RS, resultou na função densidade de probabilidade \(f(x)\) \(=\) 0,0696\(e^{-0,0696x}\), em que \(X\) representa o total diário de chuvas em mm. Pergunta-se:

  • a) Qual é a média do total de chuva diária?

  • b) Qual é a probabilidade de chover mais de \(25\) mm em um dia qualquer de janeiro na região?

  • c) Qual é a probabilidade de a chuva diária total ser inferior a \(5\) mm?

  • d) Qual é a probabilidade de a chuva diária total estar entre \(10\) e \(18\) mm?

•    6.1.4 Apresentar dois estimadores de momentos para o parâmetro \(\lambda \) da distribuição exponencial. Esses estimadores são obtidos igualando os momentos da distribuição (média, variância, etc.) aos estimadores amostrais usuais desses momentos.

•    6.1.5 Outro tipo de estimador é conhecido por estimador de máxima verossimilhança. Esse estimador é obtido por meio de uma série de procedimentos descritos rapidamente a seguir:

  • i) Toma-se uma amostra aleatória de tamanho \(n\) da distribuição de probabilidade de referência (população infinita) com \(x_i\) independente de \(x_{i'}\), para todo \(i\ne i'\);

  • ii) Constrói-se a função de verossimilhança (\(L\)) que é dada pelo produtório das densidades para todo \(i\)

    \(\seteqnumber{0}{6.}{0}\)

    \begin{align*} L=& \prod _{i=1}^n f(x_i); \end{align*}

  • iii) Toma-se o logaritmo neperiano de \(L\), \(lnL\), e deriva-se a expressão obtida em relação aos parâmetros contidos na densidade (\(\theta _i\)’s). Igualam-se as derivadas parciais a zero e resolve-se a equação ou sistema de equações resultante em relação aos parâmetros. Os resultados obtidos são os estimadores de máxima verossimilhança.

  • a) Obter o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro \(\lambda \) da distribuição exponencial. Considerar que os \(n\) elementos da amostra são conhecidos.

  • b) Comparar os resultados com os estimadores de momentos obtidos no exercício anterior.

•    6.1.6 Obter as seguintes probabilidades, para a distribuição normal padrão, \(N(0\), \(1)\).

  \(\seteqnumber{0}{6.}{0}\)

  \begin{align*} a)&\, P(Z>1,5) &&& b)&\, P(Z>-1,5) &&& c)& \,P(-1,5<Z<1,5)\\ d)&\, P(-1,96 < Z < 1,96) &&& e)&\, P(Z>0) &&& f)&\,P(1,30<Z<1,9) \end{align*}

•    6.1.7 Encontrar os valores \(z\), da distribuição \(N(0\), \(1)\), tais que:

  \(\seteqnumber{0}{6.}{0}\)

  \begin{align*} a)&\, P(Z>z)=0,975 &&& b)&\, P(Z>z)=0,025\\ c)& \,P(Z<z)=0,975 &&& d)&\, P(1<Z< z)=0,10\\ e)&\, P(-1<Z<z)=0,20 &&& f)&\, P(-1<Z<z)=0,40 \end{align*}

•    6.1.8 Uma raça de coelhos híbrida, Norfolk, possui peso ao abate aos \(90\) dias \(X\) com distribuição \(N(\)2,60, 0,04\()\). Obter as probabilidades e os valores de peso \(x\), \(\mu -x\) ou \(\mu +x\), de acordo com as afirmativas probabilísticas a seguir:

  \(\seteqnumber{0}{6.}{0}\)

  \begin{align*} a)&\, P(X > 2,70) &&& b)&\, P(X < 2,45)\\ c)& \,P(2,55<X <2,65) &&& d)&\, P(X > x) = 0,80\\ e)&\, P(\mu -x<X<\mu +x) = 0,95 &&& f)&\, P(\mu -x<X<\mu +x)=0,90 \end{align*} PS. Há um erro no enunciado dos itens (e) e (f) no Livro. O enunciado correto é este apresentado aqui. Por exemplo, da forma como está no Livro, o valor de \(X\) é \(x=\)2,93 kg. Só que não faz sentido falar em peso \(-\)42,93 kg (isso não existe). Será corrigido na próxima tiragem e/ou edição.

  • g) Uma divisão foi realizada pelos compradores classificando os coelhos em classes de peso da seguinte forma: E: os \(15\%\) mais leves; D: os \(20\%\) seguintes à categoria E; C: os \(25\%\) seguintes à categoria D; B: os \(30\%\) seguintes à categoria C; A: os \(10\%\) mais pesados. O esquema é apresentado a seguir.

    

  • i) Determinar os limites de peso de cada categoria.

  • ii) Se os valores em u.m. pagos a cada categoria forem: E: 2,1 u.m./coelho; D: 3,0 u.m./coelho; C: 5,0 u.m./coelho; B: 5,2 u.m./coelho; A: 2,5 u.m./coelho. Determinar a receita média por coelho. Se o custo médio de cada coelho for 2,6 u.m., qual é o lucro médio esperado por coelho?

•    6.1.9 Supor que o número de sementes que germine \((Y)\) de uma espécie segue uma distribuição binomial. Sabendo-se que a probabilidade de uma semente germinar é de \(70\%\), pergunta-se:

  • a) Qual é a probabilidade, em um experimento com um vaso com \(n = 5\) sementes, de pelo menos \(4\) germinarem?

  • b) Sabe-se que \(X\) representa o número de vasos que tem pelo menos \(4\) sementes germinadas dessa espécie (originadas do item a), então qual é o número (tamanho da amostra) de vasos, a serem semeados com exatamente \(5\) sementes, necessário para que se tenha uma probabilidade de \(95\%\) de que um experimento venha a ser realizado com uma quantidade não inferior a \(30\) vasos?

•    6.1.10 Em uma população de suínos de certa região, a peste suína ocorre, em média, em \(1\) a cada \(50\) animais. Qual é a probabilidade de que em uma amostra aleatória de \(n = 100\) suínos, seja encontrado, pelo menos um com a doença? Fazer o cálculo usando a Binomial, a aproximação Poisson da binomial e a aproximação normal da binomial. Discutir os resultados obtidos.