Estatı́stica Básica

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Capı́tulo 9 Inferências Sobre Parâmetros de Uma População

9.1 Exercícios

   9.1.1 Uma amostra do teor de Zn em ppm do dedo médio de $n = 100$ aves de corte que receberam dieta à base de Zn na ração apresentou média de $700$ ppm e variância de $400$ ppm$^2$. Sabe-se que o grupo controle de aves, aquele que não recebe Zn na ração, tem média igual a $400$ ppm. Construir o intervalo de $95\%$ de confiança para $\mu $, supondo-se que a distribuição dos dados seja normal. Tomando-se por base os resultados obtidos, verificar se a dieta de Zn é capaz de aumentar significativamente o teor médio de Zn na constituição química das aves.
   9.1.2 Uma amostra de $n = 61$ animais de uma população normal apresentou média de $12$ litros de litros/dia/animal e variância de 13,6 l$^2$ em uma região produtora de leite. Construir os intervalos de $95\%$ e $99\%$ de confiança. Verificar e discutir o efeito provocado pelo aumento do coeficiente de confiança.
   9.1.3 Uma amostra de uma plantação de eucalipto subdividida em $n = 10$ talhões de meio hectare cada uma apresentou os resultados tabulados na sequência com relação ao número de formigueiros de saúva. Construir o intervalo de $95\%$ de confiança para a média $\mu $ do número de formigueiros por hectare dos $100.000$ hectares da empresa. Supor que a variável amostrada tenha distribuição Poisson. Usar as aproximações apresentadas nesse material e comparar com o intervalo exato. Sabendo-se que o custo para eliminar cada formigueiro é de cerca de R$ 17,55 reais, qual é a estimativa dos custo para exterminar todos os formigueiros da área da empresa?

.

20 16 24 18 23

19 16 14 16 30
   9.1.4 Uma amostra de tamanho $30$ do tempo de vida de uma espécie arbórea em anos está apresentada a seguir. Supondo que os dados sigam uma distribuição exponencial, obter o intervalo de $95\%$ de confiança para o tempo médio de vida dessa espécie. Usar as aproximações e o intervalo exato e comparar os resultados.

.

391,1 98,3 197,3 77,5 26,5

92,4 30,3 199,8 99,9 31,2

32,2 78,7 16,7 55,4 213,3

164,7 37,1 15,2 41,7 201,9

56,8 96,5 38,0 104,1 78,5

35,0 95,8 108,2 78,6 156,4
   9.1.5 Obter, utilizando os métodos bootstrap apresentados, os intervalos de confiança para a média populacional do número de formigueiros dos $100.000$ ha da empresa amostrada no exercício 9.1.3. Utilizar um computador e um mínimo de $2.000$ reamostragens.
   9.1.6 Uma amostra de $n=20$ animais tratados com um medicamento denominado phlorizin apresentou os seguintes resultados quanto ao teor de glicose arterial: $\bar {x}$ $=$ 3,10 mM e $s^2$ $=$ 0,80 mM$^2$. Sabendo-se que os animais não tratados têm média igual a 3,21 mM, testar a hipótese de que o phlorizin não tenha efeito em diminuir o teor médio de glicose arterial e que o resultado amostral menor obtido possa ser atribuído a fatores de acaso.
   9.1.7 Uma região apresenta $121$ plantas de um determinado tipo de bromélia por hectare. Um levantamento amostral em outra região com características edafoclimáticas semelhantes foi feito com o intuito de testar a hipótese de que o número médio dessa bromélia seja igual ao da outra região. Os dados observados de uma amostra de $20$ parcelas de $500$ m$^2$ cada uma foram:

.

1 6 6 6 7

2 7 6 6 3

3 10 4 3 7

3 5 4 4 5

Testar a hipótese de interesse, supondo que a distribuição da ocorrência dessa bromélia tenha distribuição Poisson.
   9.1.8 Dimensionar uma amostra $(n)$ para estimar a média de uma população normal com relação à variável produtividade em t/ha. Supor que o pesquisador queira cometer um erro máximo de $200$ kg/ha nessa estimação com confiança de $95\%$. Um estudo semelhante na literatura apresentou uma variância de 1,4 (t$^2$/ha).
   9.1.9 Com a pretensão de realizar um teste de hipótese a respeito da média de uma nova cultivar de milho em relação à produtividade média da variedade mais produtiva do mercado, um pesquisador deve planejar um experimento e dimensionar a amostra. Pela amostra piloto constatou-se que o desvio padrão da produtividade média da cultivar é $s$ $=$ 0,56 t/ha. a) Qual deve ser o tamanho da amostra $n$ para que o teste tenha poder de $95\%$ em detectar uma diferença mínima significativa de 0,2 t/ha com coeficiente de confiança de 95%? b) Qual é o poder do teste em detectar uma diferença mínima significativa de 0,1 t/ha com coeficiente de confiança de $95\%$ e tamanho amostral obtido no item (a)? c) determinar qual é a diferença mínima que será detectada com $90\%$ de poder, coeficiente de confiança de $95\%$ e $n$ obtido no item (a).
   9.1.10 Obter o intervalo de $95\%$ de confiança para a proporção de insetos resistentes a um fungo patogênico. Em uma amostra de $n = 500$ insetos criados em laboratório, apenas $6$ não morreram em consequência da ação do fungo a que foram expostos por um período de $5$ dias. Utilizar os intervalos exato e aproximados e discutir sobre a qualidade das aproximações. Se for verificada uma baixa precisão dos limites estimados de algumas aproximações, apontar as possíveis razões.
   9.1.11 Quando dois genes situam-se no mesmo cromossomo, eles estão ligados e suas manifestações não são independentes. Um estudo básico de herança de dois genes foi realizado, sendo um dos genes responsável pela cor do halo no grão de feijoeiro (a cor clara é devida a um alelo recessivo) e o outro, pela reação a uma determinada doença (a resistência é devida a um alelo dominante). Um geneticista, em um ambiente onde o patógeno foi inoculado, realizou um estudo para testar a hipótese da não ligação desses dois genes. Para isso, uma geração $F_2$ foi utilizada proveniente do cruzamento de uma linhagem com a cor clara do halo e susceptível à doença com outra com halo escuro e resistente. Se os genes são independentes, ou seja, se estiverem em cromossomos distintos, a frequência esperada de plantas susceptíveis e com halo de cor clara é de $1/16$ (0,0625). Caso haja ligação, genes no mesmo cromossomo, essa frequência é função da distância $r$ desses genes, dada por $(1-r)^2/4$. Como $r$ é sempre menor que $1/2$, o valor da frequência esperada na geração $F_2$ do genótipo desejado deve ser menor que o que seria obtido sob independência. O geneticista em seu experimento observou que das $600$ plantas amostradas, apenas $20$ delas eram susceptíveis e com halo de cor clara. Existem evidencias significativas para rejeitar a hipótese de que os genes da resistência e da cor de halo estejam em cromossomos diferentes?
   9.1.12 Determinar o valor de $n$ necessário para se estimar a proporção de plantas infectadas por uma doença sistêmica em um pomar, considerando um erro igual a $5\%$ e confiança de $95\%$. Como proceder para tentar diminuir o valor de $n$ necessário, sem alterar o erro máximo e a confiança?
   9.1.13 Construir o intervalo de $95\%$ de confiança para a mediana do número de formigueiros da plantação de eucalipto, considerando-se os dados apresentados no exercício 9.1.3.
   9.1.14 Testar a hipótese de que a mediana da quantidade de nitrato (kg/ha) em Minas Gerais provenientes da chuva ácida é menor que a Norte Americana, que corresponde a 5,06 kg/ha. Uma amostra de $11$ anos apresentou os seguintes resultados. Utilizar o teste do sinal e o teste dos postos com sinais para testar a hipótese.

.

6,29 6,22 4,01 7,88 6,24

5,84 5,68 6,55 3,51 8,04

8,35
   9.1.15 Uma população normal, ao ser amostrada, apresentou variância igual a $s^2$ $=$ 1,6 (t/ha)$^2$ com $n = 37$ parcelas de um híbrido triplo. Construir o intervalo de $95\%$ de confiança para a variância populacional. Sabe-se que a variância de um híbrido simples sob as mesmas condições é igual a 0,6 (t/ha)$^2$. Quais conclusões podem ser tiradas, considerando-se esse conhecimento e o intervalo recém obtido?
   9.1.16 Realizar o teste de hipótese de que a variância do híbrido triplo do exercício 9.1.15 seja menor ou igual à variância do híbrido simples. Comparar os resultados com os obtidos no exercício 9.1.15.
   9.1.17 Uma amostra de tamanho $n = 100$ apresentou $CV$ da erodibilidade do solo igual a $32\%$ e média de 0,0307 (MJ mm)$^{-1}$. Obter o intervalo de $95\%$ de confiança para o coeficiente de variação da erodibilidade desse solo.
   9.1.18 Uma espécie de pinus apresentou em uma amostra de tamanho $n = 10$ um valor do coeficiente de variação da produtividade de madeira em m$^3$ igual a 15,02%. Testar a hipótese de que o coeficiente de variação dessa espécie não seja diferente daquele relativo a de um clone cujo valor é igual a $5\%$.


391,1	98,3	197,3	77,5	26,5
92,4	30,3	199,8	99,9	31,2
32,2	78,7	16,7	55,4	213,3
164,7	37,1	15,2	41,7	201,9
56,8	96,5	38,0	104,1	78,5
35,0	95,8	108,2	78,6	156,4


6,29	6,22	4,01	7,88	6,24
5,84	5,68	6,55	3,51	8,04
8,35