Estatı́stica Básica

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Capı́tulo 5 Distribuições Discretas de Probabilidades

5.1 Exercícios

   5.1.1 Considere ninhadas de $n=3$ filhotes de coelhos. Construir o espaço amostral considerando os nascimentos de fêmeas e machos, utilizando um diagrama de árvore e considerar os eventos nascer macho e nascer fêmea como equiprováveis.
- a) Sendo $X$ a ocorrência de fêmeas, construa a distribuição de probabilidade de $X$;
- b) Calcule as probabilidades dos seguintes eventos por meio da distribuição de probabilidade construída:
  - i) nascimento de exatamente duas fêmeas.
  - ii) nascimento de pelo menos um macho.
  - iii) nascimento de pelo menos duas fêmeas.
  - iv) nascimento de no máximo uma fêmea.
- c) Suponha que você faça uma amostragem de $500$ ninhadas de $3$ filhotes. Em quantos, em média, você espera encontrar com exatamente $1$ fêmea?
   5.1.2 Considere nascimentos de $n = 4$ filhotes de coelhos de um determinada raça. Nesta raça há um distúrbio genético e a probabilidade de nascer fêmea é $5/8$. Sendo $X$ a ocorrência de fêmeas e utilizando a distribuição binomial obter:
- a) a distribuição de probabilidade de $X$;
- b) a média e variância da variável aleatória $X$ com distribuição binomial;
- c) o número esperado de ninhadas em uma amostra de $1.000$ ninhadas de tamanho $n=4$ para cada valor da variável aleatória $X$.
   5.1.3 Numa lâmina verificou-se que existiam em média $4$ bactérias/cm$^2$. A lâmina foi subdividida em $600$ quadrados de $1$ cm$^2$. Qual é o modelo probabilístico adequado para modelar a ocorrência de bactérias por cm$^2$, supondo que a distribuição espacial segue um padrão aleatório? Em quantos dos $600$ quadrados, em média, você espera encontrar no máximo $1$ bactéria? Qual é a probabilidade de se encontrar mais de $2$ bactérias por centímetro quadrado? Qual é a probabilidade de não encontrar bactérias em um quadrado tomado aleatoriamente destes $600$ quadrados?
   5.1.4 Um pesquisador da área de zootecnia conseguiu uma série de dados dos últimos $120$ anos com o registro do número de uma doença rara em equinos da localidade em que trabalhava. Os dados obtidos foram:

.

Número de doenças $(x)$ 0 1 2 3 4 5

Número de anos $(F_i)$ 55 40 17 5 2 1
- a) Estime o número médio de doenças /ano;
- b) Calcule para cada valor da variável aleatória $X$, as probabilidades associadas. Suponha que $X$ possua distribuição de Poisson e que a média amostral é o estimador do parâmetro $\lambda $ da distribuição Poisson;
- c) Calcule a frequência esperada (em anos) para cada valor de $X$;
- d) Compare os resultados esperados com os observados. Com base nesta comparação, você pode afirmar que a distribuição de Poisson é adequada para explicar a ocorrência desta doença na região de estudo? Justifique.
   5.1.5 Um pesquisador da área de entomologia resolveu que avaliaria seu experimento semanalmente e que o tamanho da amostra em número de plantas amostradas seria um valor entre $21$ e $30$. A escolha de um tamanho amostral $x$ seria realizada de acordo com a distribuição uniforme discreta. Sabendo que o custo de cada planta amostrada é de R$ 1,50:
- a) Explicitar a função de probabilidade de $X$, variável aleatória que representa o número de plantas amostradas em uma semana.
- b) Qual é o custo médio semanal esperado para a amostragem?
- c) Qual é a variância desse custo?
- d) Usar o teorema de Tchebichev e achar os limites que garantam uma probabilidade mínima de $95\%$ que o custo de uma semana qualquer não extrapole esses limites.
- e) Construir a $F(x)$ para todos os valores do suporte da variável aleatória $X$.
   5.1.6 Se $X$ é uma variável aleatória com distribuição binomial, determinar a probabilidade $P(X < \mu _X - k\sigma _X)$ para as seguintes situações:
- a) $n = 30$; $p =$0,1; e $k = 1$ ou $k = 2$
- b) $n = 30$; $p =$0,5; e $k = 1$, $k = 2$ ou $k = 3$
- c) $n = 30$; $p=$0,9; e $k = 1$ ou $k = 2$
   5.1.7 Um produtor de sementes afirma que o poder germinativo de suas sementes é 0,95. Um comprador testará uma amostra de $100$ sementes e só comprará o lote se o número de sementes germinadas na amostra for superior a $90$. Qual é a probabilidade de o lote ser comprado? Obter a média e a variância e confrontar o valor da probabilidade com o obtido pelo teorema Tchebichev.
   5.1.8 Para realizar um levantamento de tamanho da população de peixes em um tanque, um piscicultor resolveu utilizar o método da “captura” e “recaptura”. Para isso realizou-se uma amostra de tamanho $n_1 = 30$ e todos os peixes foram marcados, retornando-os em seguida para o tanque. Numa nova amostra de $n_2 = 32$ peixes, verificou-se que $x$ $=$ $2$ deles continham a marca. Estimar o tamanho da população usando a distribuição hipergeométrica, procurando maximizar a probabilidade de se encontrar $2$ peixes marcados na segunda amostragem. Sugestão: usar valores distintos de $N$ e uma planilha eletrônica para facilitar os cálculos e verificar o comportamento das probabilidades. Dessa forma é possível rastrear o valor máximo da probabilidade, que será correspondente a uma estimativa de $N$. Outra abordagem pode ser feita, maximizando a função de probabilidade, que é uma função discreta, devendo ser maximizada de forma especial. Este máximo, se $n_1n_2/x$ não for inteiro, é $\lceil n_1 n_2/x\rceil - 1$. Caso $n_1n_2/x$ seja inteiro, o máximo pode ser $n_1 n_2/x - 1$ ou $n_1 n_2/x$.
   5.1.9 O número médio de esporos de um determinado fungo por cm$^3$ de solo é igual a 0,05. Qual é a probabilidade de que uma amostra de $100$ cm$^3$ não apresente nenhum esporo do fungo? Qual é a probabilidade de que pelo menos $3$ esporos sejam encontrados na amostra?
   5.1.10 Um produtor de leite realiza inseminação artificial em seu plantel. Os machos são descartados, pois o interesse é na produção de leite. Quantas inseminações são necessárias para garantir pelo menos $95\%$ de probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra, ou seja, de nascer a primeira fêmea? Qual é a probabilidade de o produtor ter que esperar até a terceira inseminação para ter o primeiro sucesso (primeira fêmea)?
   5.1.11 A partir do enunciado do exercício número 5.1.10 responder:
- a) Qual é a probabilidade de o produtor obter o segundo sucesso (fêmea) na terceira inseminação realizada?
- b) Quantas inseminações o produtor terá que esperar para garantir pelo menos $95\%$ de chances de obtenção do terceiro sucesso?
- c) Qual é o valor médio esperado de inseminações para se obterem $3$ sucessos (fêmeas)?
   5.1.12 Construir a distribuição de probabilidade da variável $X$, número de fêmeas em leitegadas de tamanho $8$, sabendo-se que todas as leitegadas possuem ao menos $1$ fêmea. Qual seria a função de probabilidade da variável $X$, considerando-se que as leitegadas possuem ao menos $2$ fêmeas dentre os $n$ $=$ $8$ filhotes?
   5.1.13 Fazer $\alpha $ $=$ $1$ e $\beta $ $=$ $1$ na função de probabilidade da beta binomial e demonstrar que essa função de probabilidade se especializa na uniforme discreta. Calcular a média e a variância da distribuição obtida, usando-se para isso as expressões apresentadas para a média e variância da beta-binomial.
   5.1.14 Mostrar que os valores da esperança $E(X)$ e da variância $\sigma ^2_X$ da distribuição uniforme discreta, para $x_i = 1$, $2$, $\cdots $, $k$, são iguais a $(k+1)/2$ e $(k^2-1)/12$. Obter a média e a variância para a uniforme discreta se o suporte for alterado para $x_i = 0$, $1$, $2$, $\cdots $, $(k-1)$.

Dados adicionais:
$\seteqnumber{0}{5.}{0}$
\begin{align*} \sum _{i=1}^k x_i^2 =&(1^2+2^2+\cdots +k^2)=\dfrac {k^3}{3}+\dfrac {k^2}{2}+\dfrac {k}{6}, && x_i = 1, 2, \cdots , k,\\ \sum _{i=1}^k x_i^2 =&[0^2+1^2+\cdots +(k-1)^2]=\dfrac {k^3}{3}-\dfrac {k^2}{2}+\dfrac {k}{6}, && x_i = 0, 1, 2, \cdots , (k-1). \end{align*}

.
Número de doenças \((x)\)	0	1	2	3	4	5
Número de anos \((F_i)\)	55	40	17	5	2	1