Estatı́stica Básica

Capı́tulo 4 Probabilidades

4.1 Exercícios

•    4.1.1 Qual é a importância dos conceitos de probabilidade na teoria estatística?

•    4.1.2 Quatro filhotes de coelhos são acompanhados ao parto anotando-se o sexo. Construir o espaço amostral de todas as possibilidades do registro dos sexos dos coelhos.

•    4.1.3 Mediu-se em um experimento o tempo de funcionamento de máquinas agrícolas até que algum defeito mecânico, hidráulico ou elétrico fosse observado. Definir o espaço amostral para esse experimento.

•    4.1.4 No problema (exercício) 4.1.2 relacionar os eventos:

  • a) no máximo três fêmeas;

  • b) pelo menos três fêmeas;

  • c) exatamente três fêmeas;

  • d) o evento complementar de 4.1.4c.

•    4.1.5 Um experimento será realizado com duas famílias vegetais (leguminosas e gramíneas). O pesquisador dispõe de três espécies (\(A\), \(B\) e \(C\)) de leguminosas e duas de gramíneas (\(D\) e \(E\)). Sabendo-se que ele fará um sorteio de duas delas pede-se:

  • a) Determinar o espaço amostral para o experimento - espécies que serão trabalhadas;

  • b) Determinar e explicitar o evento \(E_1\): “somente gramíneas foram sorteadas”;

  • c) Determinar e explicitar o evento \(E_2\): “só leguminosas foram sorteadas”;

  • d) Os eventos \(E_1\) e \(E_2\) são mutuamente excludentes?

  • e) Os eventos \(E_1\) e \(E_2\) são complementares?

  • f) Defina-se os eventos \(E_3\): “A espécie \(A\) das leguminosas está presente entre as sorteadas” e \(E_4\): “A espécie \(D\) das gramíneas está presente entre as sorteadas” pergunta-se: i) Os dois eventos são mutuamente excludentes? ii) Determine \(E_3\cap E_4\).

•    4.1.6 Considerando-se cada ponto de \(\Omega \) do exercício 4.1.5 como equiprovável, pergunta-se:

  • a) Qual é a probabilidade de cada um dos eventos \(E_1\), \(E_2\), \(E_3\) e \(E_4\)?

  • b) Verificar se: \(P(E_3\cap E_4) = P(E_3) P(E_4|E_3)= P(E_4) P(E_3|E_4)\).

  • c) Com os eventos \(E_3\) e \(E_4\) e outras definições apresentadas neste capítulo, verifique as \(13\) propriedades da seção 4.1, substituindo \(A\) por \(E_3\) e \(B\) por \(E_4\).

  • d) Os eventos \(E_3\) e \(E_4\) são independentes? Justificar sua resposta.

  • e) Os eventos \(E_3\) e \(E_1\) também são independentes? Justificar sua resposta.

•    4.1.7 Em genética existem genes marcadores de DNA que são avaliados com a finalidade de se proporcionar mecanismo de seleção indireta de indivíduos com fenótipos desejáveis. Sabendo disso um geneticista identificou um desses genes marcadores (\(B\)) ligado a um gene de resistência a uma determinada doença (\(A\)). Sabe-se que a resistência é determinada pelo alelo dominante \(A\) e a susceptibilidade pelo alelo recessivo \(a\). Para saber se um indivíduo é resistente, é necessário que a doença ocorra no campo onde as plantas estão desenvolvendo, ou ainda, que a doença seja inoculada no campo avaliando-se os sintomas apresentados ou manifestados pelas plantas. Esse processo nem sempre é possível de ser realizado por provocar, por exemplo, a inoculação de uma doença em uma região em que ela ainda não existe. A informação do marcador molecular se prestaria para realizar a seleção indireta de plantas resistentes sem que a doença tenha se manifestado no campo.

  Se for considerado um cruzamento da geração filial \(2\) (\(F_2\)) obtida a partir do cruzamento de uma linhagem resistente com o marcador com outra susceptível com a forma recessiva do marcador, um melhorista sabe da teoria de genética de populações que as probabilidades de se obterem plantas resistentes ou susceptíveis em cada classe genotípica do marcador são aquelas apresentadas na tabela seguinte. Nessa tabela o valor de \(r\) refere-se à frequência de recombinação entre o gene marcador e o gene da doença, determinada por um mecanismo genético chamado de permuta genética (crossing-over). Os possíveis valores de \(r\) são pertencentes ao intervalo \([0\), \(\tfrac {1}{2}]\).

  .
  		Genótipo do
  	Fenótipo	Marcador	Probabilidades
  		\(BB\)	\(\frac {(1-r^2)}{4}\)
  	Resistente	\(Bb\)	\(\frac {2(1-r+r^2)}{4}\)
  		\(bb\)	\(\frac {(2r-r^2)}{4}\)
  		\(BB\)	\(\frac {r^2}{4}\)
  	Susceptível	\(Bb\)	\(\frac {2(r-r^2)}{4}\)
  		\(bb\)	\(\frac {(1-r^2)}{4}\)

  • a) Qual é a probabilidade, dado que foi sorteado um indivíduo com o genótipo marcador \(BB\), de a planta ser resistente?

  • b) Como a probabilidade obtida em 4.1.7a é dada em função de \(r\), esboce um gráfico colocando na ordenada as probabilidades e na abscissa, os valores de \(r\). Qual é conclusão que se pode tirar? Recordar que o domínio de \(r\) é o conjunto dos reais dado pelo intervalo de \([0\),   0,5\(]\).

  • c) Uma sugestão de um bom exercício para leitores com conhecimentos de genética mais profundos seria construir uma tabela similar a anterior considerando as classes genotípicas de \(A\) (\(AA\), \(Aa\) e \(aa\)) e responder a pergunta: “qual é a probabilidade de um indivíduo ser \(AA\), dado que foi selecionado um genótipo \(BB\)”?