Estatı́stica Básica

3.2 Resolução

• 3.2.1 Podemos extrair uma amostra de tamanho \(n=10\), sem reposição, da seguinte forma: a) enumerando a população de \(1\) a \(N=35\) (números entre parênteses no enunciado da questão) e sorteando \(n=10\) números aleatórios entre \(1\) e \(35\). Se algum destes números se repetir, sorteamos outro número. Podemos usar, por exemplo, o comando sample do programa R: sample(DAP, 10, replace=FALSE), em que DAP é o vetor com os \(35\) valores populacionais. Se escolhermos realizar isso com um gerador de números aleatórios, estes números representam as \(n=10\) árvores sorteadas. Registramos o \(DAP\) das árvores selecionadas para formamos nossa amostra. Convém enfatizar que em uma situação real, temos apenas o diâmetro das árvores que foram amostradas. Neste exemplo temos todos os DAPs, pois é um exemplo didático. Sorteamos um número \(\#\) da árvore, da seguinte forma: \(\#\)Árvore \(=trunc(Random\times N)+1\), em que \(trunc\) retorna a parte inteira do argumento;

  Fizemos isso para o exemplo, considerando \(n=10\) e obtivemos a seguinte elementos sorteados (# árvores): \(18\), \(7\), \(35\), \(33\), \(23\), \(30\), \(3\), \(11\), \(28\), \(16\). Registrando estes valores (ou seja visitando estas árvores sorteadas) obtivemos a seguinte amostra dos DAPs: \(23\), \(24\), \(22\), \(28\), \(24\), \(27\), \(35\), \(24\), \(25\), \(19\). Cada leitor, utilizando um processo aleatório de sorteio, irá produzir uma amostra diferente. A média desta amostra é dada por: \(\bar {X}=(23+\ldots +19)/10=25,1\). A média da população é \(\mu =(25+20+\ldots +22)/35= 24,45714\).

  Assim, o erro relativo foi:

  \(\seteqnumber{0}{3.}{0}\)

  \begin{align*} er =&\dfrac {\bar {X}-\mu }{\mu }\times 100=\dfrac {25,1-24,45714}{24,45714}\times 100\\ =& 2,628505\%. \end{align*} Assim, erramos para mais \(2,628505\%\), ou seja, nossa amostra superestimou a média da população. O erro absoluto foi de 0,64 cm para mais. Se o erro relativo é negativo, indica que houve subestimação, caso contrário superestimação. Como o processo é aleatório, os diferentes leitores terão erros para mais e para menos e eventualmente, podem até apresentar erro zero de estimação.

  O número possível de amostras de tamanho \(n=10\), sem reposição, dessa população é dado por \(\binom {N}{n}=\binom {35}{10}= 183.579.396\). Podemos observar que o número de amostras de tamanho \(n=10\) extraída sem reposição de uma população de tamanho \(N=35\) é muito grande, ou seja, de aproximadamente \(184\) milhões de possibilidades. Com reposição esse número é de \(N^n=35^10=\) \(2,76\times 10^{15}.\) Assim, em populações reais, este número é extremamente grande, refletindo a complexidade dos processos de amostragem.

• 3.2.2 Como a população possui, potencialmente, uma heterogeneidade de salários entre os diferentes estratos a ASA não é apropriada, pois ela exige populações homogêneas. Devemos fazer uma amostragem estratificada, que, no caso, deve ser a AE proporcional. A amostra deve ser dimensionada em cada estrato considerando seu tamanho, ou seja, quanto maior o estrato populacional, maior deve ser a amostra naquele estrato. O dimensionamento segue a seguinte expressão: \(n_h=n\times N_h/N\). Assim, para o primeiro estrato temos: \(n_1=n\times N_1/N=60\times 314/3.414=5,51\approx 6\). Para os demais estratos, utilizamos esta fórmula e obtivemos os seguintes resultados

  .
  Setores \((h)\)	Número de funcionários \((N_h)\)	\(n_h\)
  Administrativo	314	6
  Transporte	948	17
  Campo	1.451	26
  Outros	701	12
  Total	\(N=3.414\)	\(n=181\)

  Como todos os arredondamentos foram feitos para cima, então a amostra efetiva deverá ser de \(n=61\). Para amostrarmos cada estrato, podemos utilizar tanto uma ASA como uma amostragem sistemática (AS). Para aplicar uma ASA é necessário ter estratos enumeráveis e para uma AS, devemos possuir algum tipo de distribuição espacial do estrato de forma a permitir um processo de saltos regulares entre os seus elementos.

• 3.2.3 Podemos utilizar como peso os tamanhos amostrais ou os tamanho populacionais de cada estrato. A tabela completa com os pesos e tamanho de amostra retificado pelos ajustes feitos no exercício anterior são:

  .
  Setores \((h)\)	\(N_h\)	\(n_h\)	\((\bar {X}_h)\)
  Administrativo	314	\(n_1=6\)	\(2.545,00\)
  Transporte	948	\(n_2=17\)	\(\,\,\,\,480,00\)
  Campo	1.451	\(n_3=26\)	\(\,\,\,\,680,00\)
  Outros	701	\(n_4=12\)	\(\,\,\,\,987,00\)
  Total	\(N=3.414\)	\(n=61\)

  Utilizando o primeiro estimador:

  \(\seteqnumber{0}{3.}{0}\)

  \begin{align*} \bar {X}_{est}=& \dfrac {314\times 2.545,00+\ldots +701\times 987}{3.414}=859,03 \end{align*} e aplicando o segundo estimador, temos

  \(\seteqnumber{0}{3.}{0}\)

  \begin{align*} \bar {X}=& \dfrac {6\times 2.545,00+\ldots +12\times 987}{61}=868,10. \end{align*}

  Neste caso, os dois estimadores são equivalentes, pois \(n_h/n=N_h/N\). Embora haja uma pequena diferença ocorrida se deve ao arredondamento dos tamanhos dos estratos amostrais e ao tamanho reduzido da amostra, em que os arredondamentos dos pesos são sentidos mais severamente no estimador.

• 3.2.4 Em populações heterogêneas, em que for possível realizar um subdivisão em estratos homogêneos, devemos recomendar a amostragem estratificada pois se a população for homogêneas a ASA (amostra simples ao acaso) é recomendada.

• 3.2.5 Amostragem probabilística é aquela em que todos elementos da população possuem probabilidade não-nula de participar da amostra e sua principal característica é o uso do sorteio. Se por algum razão algum elemento ou grupo de elementos da população possuir probabilidade nula de participar da amostra ou a amostragem for feita sem sorteio, então a amostragem é considerada não-probabilística.

• 3.2.6 ASA: Amostragem utilizada em situações em que a população é homogênea e enumerável. AS: também utilizada em populações homogêneas, mas que tenha uma distribuição espacial que permite a utilização de um processo de amostragem em que são tomados os elementos sistematicamente (regularmente) de acordo com uma razão \(r=N/n\). Assim, os dois tipos de amostragem diferem basicamente na forma em que a amostragem é realizada.

• 3.2.7 O tamanho do estrato amostral é diretamente proporcional ao tamanho do estrato populacional e a sua variabilidade. A ideia é que quanto maior for estrato amostral, maior deve ser sua amostra para representá-lo adequadamente; da mesma forma e não menos importante, quanto mais variável for o estrato, maior heterogeneidade, maior deve ser a representatividade do estrato. Esta análise é facilmente realizada observando a expressão para dimensionarmos o tamanho do estrato amostral, que é dada por:

  \(\seteqnumber{0}{3.}{0}\)

  \begin{align*} n_h=& \dfrac {N_h\sigma _h}{\displaystyle \sum _{i=1}^L N_h\sigma _h} \times n. \end{align*}

• 3.2.8 A média populacional do peso de ratos é: \(\mu =(18,77+19,17+\ldots +18,30)/20=18,7025\). Para obtermos os erros relativos a cada tamanho de amostra, construímos a seguinte tabela contendo as amostras sorteadas de cada tamanho (sem reposição) e a estimativa da média. Cada amostragem foi feita conforme procedimento descrito no exercício resolvido 3.2.1.

  .
  Tamanho \((n)\)	Amostra	\(\bar {X}\)	\(er\)%
  2	17,37; 19,37	18,3700	\(-\)1,11%
  4	18,47; 17,93; 19,38; 17,51	18,3225	\(-\)1,37%
  6	17,76; 18,47; 19,14; 19,38; 18,77; 21,71	19,2050	3,38%
  10	21,71; 17,76; 19,17; 17,19; 19,14; 19,38; 18,47; 18,62; 16,99; 17,44	18,5870	0,05%
  12	17,51; 21,71; 18,62; 19,37; 17,44; 19,38; 19,17; 18,77; 21,65; 17,37; 18,47; 18,47	18,9942	2,25%

  O gráfico correspondente é dado por:

  

  Verificamos que existe uma “tendência” do valor absoluto do erro decrescer na medida que o tamanho da amostra \(n\) aumenta. Fizemos \(1.000\) repetições deste procedimento em um programa de análise estatística e o resultado gráfico é dado por:

  

  Observamos que existe uma tendência das amplitudes dos erros relativos reduzirem com o aumento do tamanho da amostra \(n\).

• 3.2.9 Considerando cada célula da tabela apresentada fosse uma posição de uma gaiola individual, como no esquema a seguir:

  .
  Peso de fêmeas
  	1	2	3	4
  	5	6	7	8
  	9	10	11	12
  	13	14	15	16
  	17	18	19	20

  Assim, temos \(20\) gaiolas individuais e realizamos uma amostra sistemática. Sorteamos uma posição e com saltos \(r\) \(\approx \) \(N / n\) sorteamos a amostra de tamanho \(n\). Por exemplo, para \(n=2\) temos \(r=20/2\) \(=\) \(10\). Assim, sorteamos um elemento entre os primeiros \(10\) e depois saltamos \(r=10\) unidades para o próximo.

  Para obtermos os erros relativos à cada tamanho de amostra, construímos a seguinte tabela contendo as amostras sorteadas de cada tamanho de forma sistemática e a estimativa da média. O erro relativo foi estimado conforme procedimento descrito no exercício 3.2.1. Nas amostras de tamanho \(n=2\) foram sorteados os elementos \(9\) e \(19\). Veja que \(r=10\) e o sorteio entre os dez primeiros elementos resultou no valor \(9\). Para \(n=4\), o sorteio foi \(1\), \(6\), \(11\), \(16\). Neste caso \(r=5\) e o elemento sorteado entre os \(5\) primeiro foi o \(1\), resultando nesta amostra. Para \(n=6\) o sorteio foi \(3\), \(6\), \(9\), \(12\), \(15\), \(18\), com \(r=3\). Para \(n=10\) o sorteio foi \(2\), \(4\), \(6\), \(8\), \(10\), \(12\), \(14\), \(16\), \(18\), \(20\), com \(r=2\). Finalmente, para \(n=12\) o sorteio foi \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\), \(10\), \(11\), \(12\) com \(r=1\). É importante salientar que este método não é apropriado para ser aplicado quando \(n > N/2\), como neste último caso de \(n=12\). Os valores correspondentes, usando a tabela acima como máscara para a tabela com os dados originais e usando-se os números sorteados acima, estão apresentados na seguinte tabela de resultados:

  .
  Tamanho \((n)\)	Amostra	\(\bar {X}\)	\(er\)%
  2	17,44; 19,14	18,2900	\(-\)1,54%
  4	18,77; 17,90; 21,71; 19,37	19,4375	4,63%
  6	18,47; 17,90; 17,44; 17,37; 17,93; 16,99	17,6833	\(-\)4,81%
  10	19,17; 18,40; 17,90; 19,38; 17,51; 17,37; 18,62; 19,37; 16,99; 18,30	18,3010	\(-\)1,49%
  12	18,77; 19,17; 18,47; 18,40; 17,76; 17,90; 21,65; 19,38; 17,44; 17,51; 21,71; 17,37	18,7942	1,17%

  O gráfico correspondente é dado por:

  

• 3.2.10 A amostragem estratificada uniforme deve ser utilizada quando os estratos populacionais possuírem tamanhos aproximadamente iguais e a amostragem estratificada proporcional, quando estes estratos tiverem tamanhos muito diferentes uns dos outros. Na amostragem estratificada proporcional o tamanho do estrato amostral é diretamente proporcional ao tamanho do estrato populacional. Assim, quanto maior \(N_h\) maior será o tamanho da amostra naquele estrato \((n_h)\). Da mesma forma, a expressão utilizada para dimensionar o estrato amostral permite que se faça esta análise. A expressão correspondente é:

  \(\seteqnumber{0}{3.}{0}\)

  \begin{align*} n_h=& \dfrac {N_h}{N} \times n. \end{align*}