Estatı́stica Básica

Capı́tulo 7 Distribuições Amostrais

7.1 Exercícios

•    7.1.1 A seguir apresenta-se um resumo da tabela de \(t\) de Student. Consultá-la e fazer os esboços dos gráficos de acordo com as afirmativas probabilísticas apresentadas na sequência.

  .
  	\(\nu \)	\(0,050\)	\(0,025\)
  	9	1,833	2,262
  	10	1,812	2,228
  	19	1,729	2,093

  • a) \(P(t > t_c) =\)0,05 ou \(t_{0,05}\) para \(\nu \) \(=\) \(10\) graus de liberdade;

  • b) \(t_{0,95}\) para \(n\) \(=\) \(20\);

  • c) \(t_{0,025}\) para \(n\) \(=\) \(10\);

  • d) \(t_{\alpha /2}\) tal que \(P(-t_{\alpha /2}<t<t_{\alpha /2})\) \(=\) 0,025 para \(\nu \) \(=\) \(10\) graus de liberdade;

  • e) para uma amostra de tamanho \(10\), sabe-se que \(\int _t^{+\infty } f(x) dx\) \(=\) 0,025, sendo \(f(x)\) a função densidade da distribuição \(t\) de Student. Qual é o valor de \(t\), limite de integração?

•    7.1.2 Consultar a tabela apropriada e fazer os esboços dos gráficos de acordo com as seguintes afirmativas probabilísticas referentes à distribuição qui-quadrado.

  .
  	\(\nu \)	0,050	0,025	0,010
  	6	12,592	14,449	16,812
  	8	15,507	17,535	20,090
  	10	18,307	20,483	23,209

  • a) \(\chi ^2_{0,025}\) para \(n\) \(=\) \(11\);

  • b) \(\chi ^2_{0,01}\) para \(\nu \) \(=\) \(6\);

  • c) \(\chi ^2_{0,05}\) para \(\nu =10\);

  • d) \(\chi ^2_{\alpha /2}\) tal que \(P(\chi ^2\le \chi ^2_{\alpha /2})\) \(=\) 0,95, para \(\nu \) \(=\) \(8\);

  • e) sabe-se que \(\int _0^{k} f(\chi ^2) d\chi ^2\) \(=\) 0,95, sendo \(f(\chi ^2)\) a função densidade da distribuição qui-quadrado, para \(\nu \) \(=\) \(8\). Qual é o valor de \(k\), limite superior da integral definida?

•    7.1.3 Fazer o gráfico ilustrando os seguintes eventos probabilísticos, para a distribuição \(F\). A tabela seguinte é um resumo da tabela original, considerando o valor da probabilidade \(\alpha =5\%\) para o evento \(P(F>F_c)=\alpha \).

  .
  		\(\nu _1\)
  	\(\nu _2\)	\(1\)	\(5\)	\(9\)
  	5	6,61	5,05	4,77
  	10	4,96	3,33	3,02

  • a) \(F_{0,05}\) com \(\nu _1=5\) e \(n_2=6\);

  • b) \(F_{0,05}\) com \(n_1=10\) e \(n_2=6\);

  • c) \(F_{0,05}\) com \(\nu _1=1\) e \(\nu _2=10\). Comparar esse valor com o de \(t_{0,025}\) com \(\nu =10\), procurando verificar se a relação \(t^2_{\alpha /2;\nu }=\) \(F_{\alpha ;\nu _1,\nu _2}\) é verdadeira. Qual é a sua conclusão?

•    7.1.4 O tempo de vida de mangueiras, \(X\), segue uma distribuição exponencial com parâmetro \(\lambda \) \(=\) \(1/120\). Uma amostra aleatória de tamanho \(n\) \(=\) \(100\) é obtida dessa população. Usar a aproximação normal (teorema do limite central) e calcular as seguintes probabilidades:

  • a) Qual é a probabilidade de que a amostra apresente média superior a \(250\) anos?

  • b) Qual é a probabilidade de a média amostral ser inferior a \(60\) anos?

  • c) Qual é a probabilidade de a amostra apresentar média entre \(100\) e \(140\) anos?

•    7.1.5 Calcular as probabilidades da questão 7.1.4 usando-se a distribuição amostral exata das médias, ou seja, \(\bar {X}\) tem distribuição gama com parâmetros \(r\) \(=\) \(n\) e \(n\lambda \). Confrontar os valores obtidos com aqueles da aproximação normal e obter o erro absoluto e o erro relativo cometido.

•    7.1.6 Uma população possui \(20\%\) de plantas infestadas por uma praga. Supondo que a probabilidade de que uma planta esteja infestada seja constante e que a ocorrência de infestação em uma planta seja independente da infestação em outra planta qualquer. Usando-se a aproximação normal da binomial, calcular as seguintes probabilidades:

  • a) Qual é a probabilidade de uma amostra de tamanho \(n\) \(=\) \(100\) apresentar entre \(10\) e \(30\) plantas infestadas?

  • b) Qual é a probabilidade de o número de plantas infestadas ser superior a \(40\) nessa amostra de tamanho \(n\) \(=\) \(100\)?

•    7.1.7 Calcular as probabilidades da questão 7.1.6 usando a distribuição amostral exata (binomial). Comparar os valores exatos e aproximados computando-se os erros absoluto e relativo.

•    7.1.8 A partir da distribuição amostral da variância (expressão 7.2.5) de uma população normal, isolar \(\sigma ^2\) no seguinte evento probabilístico

  \(\seteqnumber{0}{7.}{0}\)

  \begin{align*} P\left (\chi ^2_{1-\alpha /2} \le \dfrac {(n-1)S^2}{\sigma ^2}\le \chi ^2_{\alpha /2}\right )=& 1-\alpha . \end{align*}

  • a) Qual é a interpretação que você dá ao resultado obtido?

  • b) Sabendo-se que os quantis “superiores” \(\chi ^2_{\alpha /2}\) e \(\chi ^2_{1-\alpha /2}\) são tabulados e conhecidos, qual seria a aplicação imediata desse resultado?

•    7.1.9 Sabendo-se que a variável aleatória \(T\) \(=\) \(\sqrt {n}(\bar {X}-\mu )/S\), obtida de uma amostra de uma população normal, tem distribuição amostral conhecida como \(t\) de Student e que seus quantis superiores são tabulados, isolar a média populacional \(\mu \) na seguinte afirmativa probabilística

  \(\seteqnumber{0}{7.}{0}\)

  \begin{align*} P\left (-t_{\alpha /2} \le T \le t_{\alpha /2}\right )=& 1-\alpha . \end{align*}

  • a) Como interpretar o resultado obtido?

  • b) Quais seriam as aplicações rotineiras que seriam dadas a esse resultado?

•    7.1.10 Usando-se as Tabelas A.1 ou A.2, da distribuição normal padrão, obter as seguintes probabilidades da distribuição amostral da média, do mínimo e do máximo. Considerar amostras de tamanho \(n\) \(=\) \(20\) de uma população normal com média 9,5 e variância \(9\). Calcular:

  • a) a probabilidade de uma amostra apresentar média inferior a \(8\);

  • b) a probabilidade de o valor mínimo dessa amostra ser inferior a \(8\);

  • c) a probabilidade de o valor máximo dessa amostra não ser superior a \(11\).