Estatı́stica Básica

Capı́tulo 11 Teoria da Estimação e Decisão Para Duas Amostras

11.1 Exercícios

•    11.1.1 Estimar por intervalo (95%) a diferença entre as médias de longevidade em dias de duas espécies de parasitóides, usados para controle biológico de pragas, quais sejam, Trichograma nerudai e Trichograma dendrolimi, da ordem Hymenoptera. Os ensaios de laboratórios foram realizados a \(250^0C\), \(65\%\) de umidade relativa e fotoperíodo de \(16/8\) h (luz/escuro). Os dados, em dias, obtidos para os machos, considerando \(n_1\) \(=\) \(7\) e \(n_2\) \(=\) \(7\), são apresentados a seguir.

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  	Trichograma nerudai	Trichograma dendrolimi
  	3,40	2,47
  	3,00	1,13
  	2,13	1,27
  	1,60	1,07
  	3,20	2,20
  	3,30	2,12
  	2,60	1,65

  • a) Testar a hipótese de normalidade usando-se os dados amostrais de cada espécie e o teste de Shapiro-Wilk.

  • b) Testar a homogeneidade das variâncias das duas espécies utilizando todos os testes apresentados neste capítulo.

  • c) Estimar a diferença de médias por intervalo usando o procedimento mais apropriado, considerando-se um coeficiente de confiança de \(95\%\).

•    11.1.2 Utilizar os dados do exemplo 11.1 e testar (\(\alpha =5\%\)) a hipótese de igualdade das variâncias das populações controle e tratada com Phlorizin para as duas variáveis consideradas no exemplo. Utilizar os testes LRT, Bartlett e \(F\). Qual foi a atitude correta: considerar as variâncias homogêneas ou considerá-las heterogêneas?

•    11.1.3 Utilizar os dados do exemplo 11.3 e estimar por intervalo a diferença de médias da biomassa seca de coleópteros encontrados nos estômagos dos dois grupos de lagartos cornudos, aplicando-se o procedimento robusto de Guo & Luh (2000) e considerando-se \(95\%\) de confiança. Comparar os resultados com os obtidos por métodos de computação intensiva.

•    11.1.4 Utilizar os procedimentos bootstrap e permutação, os dados do exemplo 11.2 e obter o intervalo de \(95\%\) de confiança para a diferença de médias na fixação de nitrogênio do albúmen de ratos normais e diabéticos. Comparar os resultados com aqueles obtidos pelo método do intervalo robusto de Guo & Luh (2000) no exemplo 11.2 do Livro.

•    11.1.5 Testar a hipótese de que as médias de dois tipos de tratamento (A e B) aplicados em frangos de corte são iguais, em relação à variável zinco na tíbia. Os resultados obtidos estão apresentados a seguir e são considerados normais. Amostras de tamanhos \(n_1\) \(=\) \(n_2\) \(=\) \(10\) aves foram consideradas em ambos os tratamentos (T).

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  	T	Valores de zinco em ppm
  	A	253,8	152,2	298,1	356,5	98,2	282,3	329,6	271,3	288,4	320,5
  	B	284,5	376,0	183,4	304,7	231,5	263,5	257,7	208,6	244,9	205,0

•    11.1.6 Testar a hipótese de igualdade do número médio de formigueiros por hectare de duas regiões (A e B). Utilizar para isso \(\gamma \) \(=\) \(1-\alpha \) \(=\) \(95\%\) e os diversos testes apresentados na seção 11.1.4, quais sejam, teste de Guo & Luh (2000), bootstrap, permutação, Brunner & Munzel (2000) e Wilcoxon-Mann-Witney. Os resultados amostrais do número de formigueiros por hectare obtidos foram:

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  	Pop.	Número de formigueiros/ha
  	A	10	0	1	15	8	11	13	12	9	10
  	B	20	21	25	15	13	19	22

•    11.1.7 Duas populações normais foram amostradas e os testes de igualdade das variâncias e das médias populacionais não rejeitaram as respectivas hipóteses \(H_0\) para o valor nominal de \(5\%\) de significância. Estimar a média populacional comum \(\mu \), utilizando o intervalo de confiança da seção 11.1.5, com \(95\%\) de confiança.

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  	População	\(n_i\)	\(S^2_i\)	\(\bar {X}_i\) (t/ha)
  	A	21	1,87	8,5
  	B	35	2,14	8,1

  Em outra situação, utilizando-se a amostra de duas outras populações, também normais, concluiu-se que as populações possuem a mesma média, mas diferentes variâncias. Logo, estimar a média comum das duas populações por intervalo, considerando \(95\%\) de confiança.

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  	População	\(n_i\)	\(S^2_i\)	\(\bar {X}_i\) (t/ha)
  	C	30	5,21	12,8
  	D	35	1,98	12,3

•    11.1.8 A partir dos dados de amostras pilotos de duas populações de milho consideradas normais, determinar os tamanhos das amostras para estimar a diferença de médias com margem de erro \(e\) \(=\) 0,5 t/ha e coeficiente de confiança \(1-\alpha \) de \(95\%\).

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  	População	\(n_i\)	\(S^2_i\)	\(\bar {X}_i\) (t/ha)
  	A	10	3,87	8,7
  	B	12	3,61	8,0

•    11.1.9 Considerar os dados do exercício proposto 11.1.8 e determinar o poder a posteriori de o teste detectar uma diferença de 0,3 t/ha adotando-se uma confiança de \(95\%\) e os tamanhos amostrais determinados no exercício referenciado. Qual é a diferença mínima detectável entre as duas populações com o mesmo coeficiente de confiança e poder de \(95\%\)?

•    11.1.10 Determinar os intervalos de \(95\%\) e \(99\%\) de confiança para diferença das duas proporções binomiais. A proporção \(1\) refere-se à incidência de doença entre animais de uma região e a proporção \(2\), a de uma segunda região. Amostras de \(n_1\) \(=\) \(n_2\) \(=\) \(300\) animais em cada uma das regiões foram obtidas e o número de animais infectados em cada foi \(y_1\) \(=\) \(10\) e \(y_2\) \(=\) \(50\). Aplicar todos os procedimentos de estimação apresentados e retirar conclusão sobre a infecção de animais nas duas regiões.

•    11.1.11 Numa pesquisa em que \(n_1\) \(=\) \(1.200\) árvores de uma variedade e \(n_2\) \(=\) \(1.250\) árvores de outra da mesma espécie foram inspecionadas, verificou-se que \(y_1\) \(=\) \(435\) e \(y_2\) \(=\) \(389\) tinham bifurcações no caule. Existem diferenças entre as proporções de árvores bifurcadas das duas variedades? Utilizar os testes de hipótese binomiais e supor que a ocorrência de árvores bifurcadas em cada espécie se dá com frequência constante e de forma independente.

•    11.1.12 Testar a hipótese de igualdade de variâncias das populações A e B e das populações C e D, considerando os dados do exercício 11.1.7.

•    11.1.13 Testar a hipótese de igualdade dos coeficientes de variação das populações do exercício 11.1.5.